Das Verwaltungsgericht erkennt:

1.
1.1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde werden Dispositiv-Ziff. 4 und 5
des Entscheid des Departements Gesundheit und Soziales, Generalsekretariat, vom 14. April 2025 aufgehoben und wie folgt ersetzt:
- 21 -

4.
Die Kosten des Verfahrens, bestehend aus den Verfahrenskosten von
Fr. 1'500.00, der Kanzleigebühr von Fr. 180.00, zusammen Fr. 1'680.00,
gehen zulasten der Staatskasse.

5.
Der Kantonale Sozialdienst wird verpflichtet, der Gemeinde Q._____ AG
eine Parteientschädigung von Fr. 6'000.00 (inkl. MwSt. und Auslagen) zu
bezahlen.