1. 1.1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Departements Gesundheit und Soziales, Generalsekretariat, vom 10. April 2025 aufgehoben und die Sache zur materiellen Beurteilung der Beschwerde gegen die in Erw. II/3.3.6 vorne erwähnten Anordnungen in den Dispositiv- Ziffern I und VI, samt dazugehöriger Strafandrohung in Dispositiv-Ziffer IX, sowie gegen Dispositiv-Ziffer VIII der Verfügung des Veterinärdienstes vom 31. Juli 2024 an die Vorinstanz zurückgewiesen. 1.2. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.