A.
Der Beschwerdeführer 2 reiste am 16. März 2001 in die Schweiz ein und
stellte am 30. März 2001 in Altstätten ein Asylgesuch (Akten des Amts für
Migration und Integration im Verfahren WBE.2023.140 [MI-act.] 188). Am
4. November 2002 heiratete er die im Libanon geborene Beschwerdeführerin 1 (MI-act. 722 ff.), die damals in der Schweiz aufenthaltsberechtigt
war und heute das Schweizer Bürgerrecht besitzt, worauf ihm im Kanton
St. Gallen im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung
erteilt wurde. Aus der Ehe gingen fünf Kinder (geb. tt.mm. 2003, tt.mm.
2004, tt.mm. 2006, tt.mm. 2011 und tt.mm.