Das Verwaltungsgericht erkennt:

1.
In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Departements Gesundheit und Soziales (DGS), Generalsekretariat, vom 4. April 2024 aufgehoben. Die Sache wird an den Regierungsrat überwiesen, damit dieser
über das Ausstandsgesuch vom 29. Januar 2024 gegen E._____ und
F._____ (beide DGS, Amt für Verbraucherschutz, Veterinärdienst) entscheidet.

2.
Die verwaltungsgerichtlichen Verfahrenskosten gehen zu Lasten des Staates.

3.
Das DGS, Generalsekretariat, wird verpflichtet, den Beschwerdeführern die
vor Verwaltungsgericht entstandenen Parteikosten in Höhe von
Fr. 3'350.00 zu ersetzen.